この段ボール運ぶのを手伝ってくれない？ を英語で教えて!

・Can you help me carry this cardboard box?
・Would you mind helping me carry this cardboard box?

1. Can you help me carry this cardboard box?
この段ボール運ぶのを手伝ってくれない？

Can you + 動詞？：～できますか？
can には可能の意味があり、会話で相手にある行為が可能か尋ねる場合に上記の表現を使います。
can の代わりに could や may を置く事もでき「～できますか？」→「～は可能（できます）でしょうか」の様にソフトなニュアンスになります。

help + 人 + 動詞：人が～するのを手伝う
ここでは原形不定詞 （ help + 人 + to 不定詞 ）の to が省かれ、動詞は原形になります。

例文
Can you help me carry this cardboard box because it was heavy and might cause a strained back.
ぎっくり腰になりそうなほど重かったので、この段ボール運ぶのを手伝ってくれない？
cardboard box：段ボール箱
cardboard「段ボール」+ box「箱」で「段ボール箱」です。
strained back：腰痛→ぎっくり腰
strained は「張り詰めた」+ back「腰」で 「ぎっくり腰」です。

2. Would you mind helping me carry this cardboard box?
この段ボール運ぶのを手伝っていただけませんか？

Would you mind + 動名詞？：～していただけませんか？
mind は「心配する」「気にする」なので「～するのは気にしますか？」→「～していただけませんか」と解釈します。相手が目上の方、お客様などで、丁寧さが求められる場面で使うフレーズです。
また似たフレーズの Would you mind + my + 動名詞？「（私が）～しても構いませんか？」は自分がする行為が気になるか尋ねる意味になります。
例
Would you mind my opening the door?
ドアを開けても構いませんか？

例文
If you are free, would you mind helping me carry this cardboard box?
もし手が空いていたら、この段ボール運ぶのを手伝ってくれない？

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